数论函数,是指定义在正整数集上的实值函数或者复值函数,它是数论中应用最为广泛的概念之一Dedekind和,Gauss和,Kloosterman和,Cochrane和,Dirichlet L-函数以及D.H.Lehmer问题等算术函数在解析数论中占有非常重要的地位,因为它们和数论中的许多著名问题都密切相关,因此研究这些数论函数是十分重要的.而且研究这些数论函数的方法,技巧和结论,还可以应用于密码学等信息领域.近年来,关于这些算术函数的均值性质,误差估计,上界估计,指数和,特征和及其推广形式的研究成果比较丰富,使得对这一领域的研究有了重大的进展,对解析数论的发展起到了重要的作用,这无疑是非常具有现实意义的.不定方程也是近年来数论领域研究的一个重要内容,指数Lebesgue-Nagell方程也是其中之一.尤其是当p取不同值时求解Lebesgue-Nagell方程更是研究的热点.多项式函数的计算对数学的理论和应用起着重要的推动作用.虽然也有不少学者进行了研究,且获得了不少有意义的结果,但对多项式函数的积分计算的研究还不多见,尤其是将这些积分计算与Fibonacci数和Lucas数结合起来进行研究更为少见.基于以上的发展现状,本文主要研究了解析数论中经典和式与均值的渐近性质,指数Lebesgue-Nagell方程的解以及组合数论中多项式函数与Fibonacci数和Lucas数的积分计算问题,综合运用初等方法和解析方法得到了一些结果.具体来说,本文的主要成果包括以下几方面：1.关于经典的Dedekind和与D.H.Lehmer问题的误差项的混合均值的研究.主要利用初等和解析的方法以及一些技巧并结合Gauss和与DirichletL-函数之间的相互关系研究了包含经典Dedekind和与D.H.Lehmer问题的误差项的混合均值,并且获得了有趣的渐近公式.2.关于包含经典Dedekind和与二项指数和的均值性质的研究.利用解析方法来研究经典Dedekind和与二项指数和的均值性质,并给出三个更强的渐近公式.3.研究一个指数方程以及它的所有正整数解.利用初等方法研究指数Lebesgue-Nagell方程x2+p2m=yn（gcd（x,y）=1,n>2）的所有正整数解（x,y,m,n）的一个完全分类.4.研究一个包含Legendre多项式的积分计算问题.主要利用初等方法以及Legendre多项式的性质研究一个包含Legendre多项式的积分计算问题,并给出一个包含Legendre多项式的积分计算公式.