特征值问题在数学物理中有着广泛的应用，研究这类问题需要用到几何分析中的方法。因此特征值估计问题是几何分析研究中的一个重要课题。在过去的几十年间，很多人都关注过这个问题，并对它进行了全面的研究，这其中包括Jeff cheeger[14],Shing-Tung Yau[3，15,16]，Shiu-Yuen Cheng[10]等等。本文主要是在已有的理论基础之上进行问题的研究。　　 本研究主要内容包括：第一章，首先对Dirichlet特征值问题进行了介绍，同时介绍了Laplace-Beltrami算子，然后给出了Dirichlet特征值的基本性质，最后论述了在本文要用到的偏微分方程中的基本理论。第二章，主要对Dirichlet特征值的估计问题进行研究，先列举了一些已证明的理论结果，如Q.-H.Yu and J.-Q.Zhang在文献[5]中给出了Dirichlet的第一和第二特征值之间隙的下界估计。