数论是研究整数性质的一门数学学科，数论是推动数学发展的原动力，近代数学中许多重要的思想、方法大都是在研究数论问题中不断发展起来的，算术函数的均值估计问题是数论中的重要研究课题之一，许多著名的数论难题都与之密切相关.然而对于大部分数论函数，它们的精确计算公式很难给出，通常可以用渐近公式来揭示它们的变化规律和性质， 著名的数论专家Florentin Smarandache一生中引入了大量十分有趣的序列和数论函数，并提出了许多出色的数论难题和猜想，他在专著《Only Problems，Not Solutions》中提出了105个关于数论函数和序列的没有解决的难题和猜想，引起了许多数论爱好者的研究兴趣。 出于对F.Smarandache问题的兴趣，我运用初等数论、解析数论等相关知识理论对几个数论函数进行了初步研究，得到了一些结果，主要成果具体有以下几点： 1.研究了一些新的数论函数的均值估计问题.即就是研究了k次幂可加余数部分函数fk(n)的性质，引入两个新的数论函数Q(n-fk(n))和δm(fk(n))，研究了他们的均值估计问题.给出这些相关函数一些较好的渐近公式。 2.研究了关于F.Smarandache平方补数函数Ssc(n)的一些重要性质.利用初等和解析方法研究了包含Ssc(n)的级数的收敛性，并给出了估计值。 3.研究了一个包含F.Smarandache函数的方程SM(n)= Zw(n)解的问题，利用初等和解析的方法，给出该方程精确的正整数解集。