本论文主要分为两大部分。　　 第一部分详细研究四元数Heisenberg群上的次Laplacian和Dirac型不变微分算子的实联合谱的联合特征函数.我们得到的结论是：一个四元数值函数f满足增长条件（对某个ε>0），｜f(x,t)｜≤ceγ｜t｜+1/4(1-ε)｜x｜2，则，是次Laplacian和T的联合特征函数，当且仅当，它是某个解析泛函的Poisson变换.这个结果推广了S。Helgason、M.Morimoto在欧氏空间和S.Thangvelu在Heisenberg群上给出的不变微分算子的表示。　　 第二部分详细讨论了四元数Heisenberg群上的Hardy空间，以及Cauchy-Riemann-Fueter算子的零空间，定义了一种四元数值函数的Fourier变换，并用这种Fourier变换刻画了Cauchy-Riemann-Fueter算子的零空间.这个结果是Riesz在上半平面和H.Liu、L.Peng在Heisenberg群上的工作的自然推广。