函数逼近论是现代数学的一个重要分支.它开始于十九世纪两个著名定理的建立,即1885年Weierstrass建立的连续函数可以用多项式逼近的定理和1859年Chebyshev提出的最佳逼近特征定理,在上个世纪它得到了蓬勃发展,并成为了一门独立的学科.人们在对以用简单可计算函数逼近一般函数的基础上提出了一系列理论和方法.如最佳逼近、Fourier逼近、三角多项式逼近、代数多项式逼近、线形算子逼近、插值逼近、有理逼近、倒数逼近和Muntz逼近等等.其中的线形算子逼近在上个世纪七、八十年代得到了长足的发展,并逐渐形成了一套成熟的理论.为了达到应用的目的,许多数学家提出了一些有用的算子,其中当属正线形算子最为重要.本文在Bernstein-Durrmeyer算子基础上进行了进一步的研究,并把它应用与神经网络.研究的意义在于:(1)我们研究了带Jacobi权Bernstein-Durrmeyer算子,并且得到了权空间中相应的结果.(2)对Bernstein-Durrmeyer算子的适用空间也相应作了推广,从以前的Lp空间推广到更一般的权空间L<,p>,从而扩大了其应用范围,这也有利于我们应用该算子解决实际问题.(3)把该算子直接应用于神经网络.本文共分五个部分.1综合介绍这部分我们向大家介绍Bernstein算子、Bernstein-Durrmeyer算子、带Jacobi权Bernstein-Durrmeyer算子、单纯形上带权Bernstein-Durrmeyer算子以及两个重要工具—光滑模和K-泛函.2基于Bernstein基本多项式的一个积分不等式设f(x)∈C<,[0,1]>,n次Bernstein多项式B<,n>(f,x)定义为B<,n>(f,x)=∑<,k=0>f(k/n)P<,n,k>(x),0≤x≤1,其中P<,n,k>(x)=(nk)x(1-x),(k=0,1,2,…,n),称为Bernstein基本多项式.Bernstein基本多项式不仅在分析学里有着广泛的应用,而且它与概率论有着密切的关系.比如运用Bernstein基本多项式可以证明著名的Weierstrass逼近定理,运用它也可以得到一些函数类的最佳逼近阶.基于Bernstein基本多项式的不等式有很多,而且发挥着重要的作用.这一部分我们将给出"积分"型不等式.3带Jacobi权Bernstein-Durrmeyer算子在L<,p>中的逼近Durrmeyer曾经引进了一种Bernstein-Durrmeyer算子M<,n>(f,x)如下M<,n>(f,x)=(n+1)∑<,k=0>P<,n,k>(x)∫<1><,0>P<,n,k>(t)f(t)dt,x∈[0,1],f∈L<,1[0,1]>,关于这个算子已经有很多有意义的结论.Berens和Xu提出了带Jacobi权的Bernstein-Durrmeyer算子:B<*><,n>(f,x)=∑<,k=0>P<,n,k>(x)C<,n,k>∫<1><,0>P<,n,k>(t)w(t)f(t)dt,x∈[0,1],f∈L<,1[0.1]>,其中C<,n,k>=(∫<1><,0>(nk)t(1-t)w(t)dt)<-1>,w(x)=x(1-x),-1(f,x)比较具有更强的实用背景,因而对其逼近问题的研究是有意义的.人们已经建立了算子M<,n>(f,x)在空间L<,p>中逼近的正逆定理,那么算子B<*><,n>(f,x)在L<,p>中是否有类似的结果呢?在这一部分我们将给出该算子的正逆定理.4基于Bernstein-Durrmeyer算子的平移网络及其逼近平移网络逼近问题涉及小波分析及神经网络逼近,是非线性逼近急待解决的问题之一.这一问题的实质是用由一个给定函数的平移而构成的有限线性组合△<,φ>={∑<,k=1>c<,k>φ(x+x<,k>):c<,k>,x<,k>∈R}.去逼近某一函数类.对于周期函数的情形,已经有人讨论了相应的逼近问题.众所周知,Bernstein基本多项式是一种最常用的逼近工具.那么,是否可以用其来构造平移网络并用于逼近一些常用函数类,如L<,p>[0,1]呢?这一部分的结果将说明带Jacobi权的Durrmeyer-Bernstein算子B<*><,n>(f,x)作为一种逼近工具不仅可以实现对L<,p>中函数的逼近,并可以用来构造平移网络算子.同时我们给出平移网络算子的上界估计.5单纯形上带Jacobi权Bernstein-Durrmeyer算子在L<,p>中的逼近本部分将建立单纯形S上的多元带权Bernstein-Durrmeyer算子对L<,p>(S)中函数逼近的正逆定理.并且构造出基于此算子的神经网络算子并建立对L<,p>(S)中函数逼近的正定理及Steckin-Marchaud不等式.