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例1 计算（-10）-（-3）.
引导学生进行推导：
因为（-7）+（-3）=-10（加法法则），
所以（-10）-（-3）=-7（减法意义）.
又因为（-10）+3=-7（加法法则），
所以（-10）-（-3）=（-10）+3（等量代换）.
归纳有理数减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数.”
这是在有理数减法法则的推导中学习推理，教学中应严格要求学生按法则和步骤进行运算，这既是强化各项数学基本技能所必需的，也是训练学生掌握严谨、规范的纵向思维所需要的.
二、让学生学会发散思维
发散思维是指从已知信息中产生大量变化的、独特的新信息中，沿着不同方向进行思维的方式.如数学教学中引导学生一题多变或一题多解是教会学生发散思维的有效途径.
例2 已知14（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，则b+ca的值等于.
解法1：用主元法，将a视为主元，由已知可得：4a2-4a（b+c）+（b+c）2=0，
分解因式，得[2a-（b+c）]2=0，即2a=b+c，由于a≠0，故有b+ca=2.
解法2：利用配方，由已知得：（b-c）2=4（a-b）·（c-a），从而0=[-（a-b）-（c-a）]2-4（a-b）（c-a）=（a-b）2+2（a-b）（c-a）+（c-a）2-4（a-b）（c-a）=（a-b）2-2（a-b）（c-a）+（c-a）2=[（a-b）-（c-a）]2=（2a-b-c）2.
故2a-b-c=0，即2a=b+c，由于a≠0，故有b+ca=2.
解法3：构造一元二次方程，由已知得：（b-c）2=4（a-b）（c-a），故方程t2+（b-c）t+（a-b）（c-a）=0有两个相等的实数根，分解因式，得：
[t-（a-b）][t-（c-a）]=0，t1=a-b;t2=c-a，故a-b=c-a，2a=b+c，由于a≠0，故b+ca=2.
解法4：利用等比性质，（1）当a=b，或a=c时，均有a=b=c，从而b+ca=2.
（2）当a≠b，a≠c时，b-c2（c-a）=2（a-b）b-c=b-c+2（a-b）2（c-a）+b-c=2a-b-c-2a+b+c=-1=2（a-b）b-c.
所以c-b=2a-2b，c+b=2a，由于a≠0，故b+ca=2.
学生学会了发散思维，可以全方位地考虑问题，沿着不同的方向去思考、探索，寻找尽可能多的设想、思路、可能性和联系，从而开发学生的智力，培养学生灵活运用知识的能力，使学生的思维流畅，能随机应变，达到高效学习的目的.
三、让学生学会逆向思维
逆向思维就是有意识地从常规思维的反方向去思考问题的思维方式.这种思维方式具有很大的创造性，往往会发现解决问题的新方法、新思路.教学中，我们可以有意设置障碍，引导学生学会在思维遇到障碍时，迅速转向，从相反的方向、角度去思考问题，从而找出解决问题的方法.这样有利于防止思维僵化，拓宽思路，活用知识.
例3 设a、b、c是整数，求证ax2+bx+c=0的判别式不能为1990，1991.
分析：从正面证明此题很困难，可以引导学生从反面思考.假设Δ=b2-4ac=1990成立，即Δ=b2-4ac=4×497+2，这里b必是偶数（若b是奇数，则b2也是奇数，又4ac为偶数，则b2-4ac必为奇数，而4×497+2为偶数，矛盾）.令b=2m，则有4m2-4ac=4×497+2，本式的左边是4的倍数，而右边却不是4的倍数，矛盾，故Δ不可能为1990.类似方法可以证明Δ也不可能为1991.
四、让学生学会直觉思维
数学中的直觉思维是指人脑对数学对象及其结构关系敏锐的想象和迅速的判断，它包括直觉想象和直觉判断.由于直觉过程具备直接性与快速性，表现为对事物的认识往往是瞬间完成的，所以直觉是创造性思维的重要组成部分.
数学是一门对培养直觉能力非常有用的学科，如果一个学生在解决数学问题时，能够对它的条件和结论之间隐蔽的错综复杂的关系，做出直接迅速的领悟，或直接、快速地悟出这个问题的可能结果，这就是数学直觉的表现.
数学的直觉虽然没有明显的中间推理过程，但必须有相关的学科知识作为基础，所以培养学生的直觉思维能力，首先应加强基本知识的教学，注意培养学生的基本能力，丰富学生的表象储备，完善学生的知识结构;其次，要上好示范练习课，示范练习对理解和运用知识，归纳揭示解题方法和规律，明确解题步骤、程序等都具有导向作用.因此，教学过程中，应注意指导学生审题，学会运用有关知识、原理解答问题，并评价解题结果，以加强学生对问题的洞察力和对问题本质及内在联系的理解，这样也有利于直觉思维的形成和发展.
五、让学生学会横向思维
横向思维，是指突破问题的结构范围，从其他领域的事物、事实中得到启示而产生新思路的思维方式.横向思维一改解决问题的一般思路，试图从别的方面、方向入手，所以它的思维广度大大增加，有可能从其他学科领域中得到解决问题的启示，横向思维在创造性活动中往往起着很大的作用.
图1
例4 如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，F为AD上一点，且AF∶FD=1∶5，连接CF并延长交AB于E，则AE∶EB=.
分析：一般解法是过点D作平行线，现在我们可以打破学科间的界线，利用物理学中的杠杆原理来解决此题.
设C为支点，在B处挂1单位的重物，由杠杆原理可知，D点承受的力为2个单位;再设F为支点，由AF∶FD=1∶5，则A承受的力为10个单位，以E为支点考虑，结合B点受力1个单位，从而有AE∶EB=1∶10.
教学中，引导学生用解析法证明平面几何命题，用几何法、三角法解代数问题，用函数思想解决方程问题甚至用其他学科知识解决数学问题等，都是教会学生进行横向思维的有效途径.
作者单位：湖北省黄梅县第一中学
引导学生进行推导：
因为（-7）+（-3）=-10（加法法则），
所以（-10）-（-3）=-7（减法意义）.
又因为（-10）+3=-7（加法法则），
所以（-10）-（-3）=（-10）+3（等量代换）.
归纳有理数减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数.”
这是在有理数减法法则的推导中学习推理，教学中应严格要求学生按法则和步骤进行运算，这既是强化各项数学基本技能所必需的，也是训练学生掌握严谨、规范的纵向思维所需要的.
二、让学生学会发散思维
发散思维是指从已知信息中产生大量变化的、独特的新信息中，沿着不同方向进行思维的方式.如数学教学中引导学生一题多变或一题多解是教会学生发散思维的有效途径.
例2 已知14（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，则b+ca的值等于.
解法1：用主元法，将a视为主元，由已知可得：4a2-4a（b+c）+（b+c）2=0，
分解因式，得[2a-（b+c）]2=0，即2a=b+c，由于a≠0，故有b+ca=2.
解法2：利用配方，由已知得：（b-c）2=4（a-b）·（c-a），从而0=[-（a-b）-（c-a）]2-4（a-b）（c-a）=（a-b）2+2（a-b）（c-a）+（c-a）2-4（a-b）（c-a）=（a-b）2-2（a-b）（c-a）+（c-a）2=[（a-b）-（c-a）]2=（2a-b-c）2.
故2a-b-c=0，即2a=b+c，由于a≠0，故有b+ca=2.
解法3：构造一元二次方程，由已知得：（b-c）2=4（a-b）（c-a），故方程t2+（b-c）t+（a-b）（c-a）=0有两个相等的实数根，分解因式，得：
[t-（a-b）][t-（c-a）]=0，t1=a-b;t2=c-a，故a-b=c-a，2a=b+c，由于a≠0，故b+ca=2.
解法4：利用等比性质，（1）当a=b，或a=c时，均有a=b=c，从而b+ca=2.
（2）当a≠b，a≠c时，b-c2（c-a）=2（a-b）b-c=b-c+2（a-b）2（c-a）+b-c=2a-b-c-2a+b+c=-1=2（a-b）b-c.
所以c-b=2a-2b，c+b=2a，由于a≠0，故b+ca=2.
学生学会了发散思维，可以全方位地考虑问题，沿着不同的方向去思考、探索，寻找尽可能多的设想、思路、可能性和联系，从而开发学生的智力，培养学生灵活运用知识的能力，使学生的思维流畅，能随机应变，达到高效学习的目的.
三、让学生学会逆向思维
逆向思维就是有意识地从常规思维的反方向去思考问题的思维方式.这种思维方式具有很大的创造性，往往会发现解决问题的新方法、新思路.教学中，我们可以有意设置障碍，引导学生学会在思维遇到障碍时，迅速转向，从相反的方向、角度去思考问题，从而找出解决问题的方法.这样有利于防止思维僵化，拓宽思路，活用知识.
例3 设a、b、c是整数，求证ax2+bx+c=0的判别式不能为1990，1991.
分析：从正面证明此题很困难，可以引导学生从反面思考.假设Δ=b2-4ac=1990成立，即Δ=b2-4ac=4×497+2，这里b必是偶数（若b是奇数，则b2也是奇数，又4ac为偶数，则b2-4ac必为奇数，而4×497+2为偶数，矛盾）.令b=2m，则有4m2-4ac=4×497+2，本式的左边是4的倍数，而右边却不是4的倍数，矛盾，故Δ不可能为1990.类似方法可以证明Δ也不可能为1991.
四、让学生学会直觉思维
数学中的直觉思维是指人脑对数学对象及其结构关系敏锐的想象和迅速的判断，它包括直觉想象和直觉判断.由于直觉过程具备直接性与快速性，表现为对事物的认识往往是瞬间完成的，所以直觉是创造性思维的重要组成部分.
数学是一门对培养直觉能力非常有用的学科，如果一个学生在解决数学问题时，能够对它的条件和结论之间隐蔽的错综复杂的关系，做出直接迅速的领悟，或直接、快速地悟出这个问题的可能结果，这就是数学直觉的表现.
数学的直觉虽然没有明显的中间推理过程，但必须有相关的学科知识作为基础，所以培养学生的直觉思维能力，首先应加强基本知识的教学，注意培养学生的基本能力，丰富学生的表象储备，完善学生的知识结构;其次，要上好示范练习课，示范练习对理解和运用知识，归纳揭示解题方法和规律，明确解题步骤、程序等都具有导向作用.因此，教学过程中，应注意指导学生审题，学会运用有关知识、原理解答问题，并评价解题结果，以加强学生对问题的洞察力和对问题本质及内在联系的理解，这样也有利于直觉思维的形成和发展.
五、让学生学会横向思维
横向思维，是指突破问题的结构范围，从其他领域的事物、事实中得到启示而产生新思路的思维方式.横向思维一改解决问题的一般思路，试图从别的方面、方向入手，所以它的思维广度大大增加，有可能从其他学科领域中得到解决问题的启示，横向思维在创造性活动中往往起着很大的作用.
图1
例4 如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，F为AD上一点，且AF∶FD=1∶5，连接CF并延长交AB于E，则AE∶EB=.
分析：一般解法是过点D作平行线，现在我们可以打破学科间的界线，利用物理学中的杠杆原理来解决此题.
设C为支点，在B处挂1单位的重物，由杠杆原理可知，D点承受的力为2个单位;再设F为支点，由AF∶FD=1∶5，则A承受的力为10个单位，以E为支点考虑，结合B点受力1个单位，从而有AE∶EB=1∶10.
教学中，引导学生用解析法证明平面几何命题，用几何法、三角法解代数问题，用函数思想解决方程问题甚至用其他学科知识解决数学问题等，都是教会学生进行横向思维的有效途径.
作者单位：湖北省黄梅县第一中学