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中图分类号：O185.1 文献标识码：A文章编号：1008-925X(2011)12-0157-01
摘要：三点共线与三线共点是几何学习中经常遇到的一类问题。本文利用射影几何的德萨格定理及其对偶定理（逆定理）、帕斯卡定理及其对偶定理（布利安双定理），给出此类问题的处理方法。
关键词：三点共线 三线共点 对偶命题 德萨格定理 帕斯卡定理 布利安双定理
1 对偶命题
在射影几何中，将一个命题的“点”换成“直线”，同时将“直线”换成“点”，并保持原有结构关系不变，所得到的新命题与原命题是“互为对偶命题”，并且两个互为对偶命题有“同真假”性质的对偶原理。[1]
如点共线问题与线共点问题，就是一对互为对偶命题。
2 三点共线与三线共点定理
德萨格定理[1] 两个三角形ABC和 中，若对应定点的连线共点，则对应边的交点共线。
德萨格对偶定理（逆定理）[1] 设两个三角形中三双对应变的交点共线，则三双对应顶点的连线共点。
帕斯卡定理[1] 设一个六角形内接于一条二次曲线，那么他的三双对边的交点共线（帕斯卡线）。
帕斯卡对偶定理（布利安双定理）[1] 设一个六边形外切于一条二次曲线，那么他的三双对顶的连线共点（布利安双点）。
3 三点共线与三线共点定理的应用
例1 证明任意四边形各对边中点的连线与两对角线的中点的连线交与一点。
证：如图1，设E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DB的中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点。要证EG、FH、NM三线共点，由三角形EFN和GHN可知：EF//GH(//AC)、EN//GM//(AD)、FN//HM(//CD)，则EF×GH=P∞，EN×GM=Q∞，FN×HN=R∞。
因为所有的无穷远点都在无穷远线上，则三点共线，由德萨格对偶定理知EG、FH、NM三线共点。
例2 证明三角形垂心、重心、和外心三点共线。
证：设三角形的重心，垂心，外心分别为H、G、L，另设D、E分别为BC、CA边上的中点,如图2，由三角形DEL和ABH可知：DE//AB，DL//AH(同垂直于BC),EL//BH（同垂直与AC），则三点DE AB、DL AH、EL BH均为无穷远点，所以共线。
由德萨格对偶定理知三线AD、BE、HL共点.又AD BE=G,即点G位于直线HL上，所以H、G、L三点共线。
例3 如图3，四边形ABCD内接于一条二次曲线，若AB×CD＝P,AD×BC＝Q,点B的切点与点D的切点的切线交与点R。证明三点P,Q,R共线。
证：将ABCD视作内接于二次曲线的六点形ABBCDD，顶点编号为1,2,3,4,5,6，按帕斯卡定理，得：
12×45=AB×CD=P,
23×56=BR×DR=R,
34×61=BC×AD=Q。
则P、Q、R三点共线。
对偶的，四线形abcd外切于一条二次曲线，若ab×cd=p，ad与c上切点的连线为q，bc与d上的切点的连线为r，则三线p，q，r共点。
4 对偶元素点共线与线共点结论的应用
在射影几何中，二次曲线的极点与极线也为对偶元素，而且有结论。
二次曲线极点与极线对应关系[1] 非退化的二次曲线极点与极线1-1对应，而且极点共线时，对应的极线共点。
例4 由于P,Q,R三点共线，故它们的极线A1A4，A2A5，A3A6共点（共线点的极线必共点），试利用帕斯卡定理证明布利安双定理。
证：如图4，设A1A2A3A4A5A6为二次曲线的外切六边形，各边的切点依次为B1，B2，……，B6，则B1B2B3B4B5B6为二次曲线的内接六边形，按帕斯卡定理，三点
P=B1B2×B4B5，
Q=B2B3×B5B6，
R＝B3B4×B6B1
共线。
注意到，A1是直线B1B2的极点，A4是直線B4B5的极点，故点P的极线是A1A4（两直线交点的极线是此两直线极的连线）。
同理，点Q的极线是A2A5，点R的极线是A3A6。
由于P,Q,R三极点共线，故它们的极线A1A4，A2A5，A3A6共点（共线点的极线必共点），这正是布利安双定理。
除上述定理外，以下定理也可证明三点共线与三线共点问题：
①帕普斯定理[1] 设直线a上有互异三点A,B,C,直线b上有互异三点A′，B′，C′，那么三点L=BC′×B′C、M=CA′×C′A、N=AB′×A′B共线。
②透视对应结论[1] 两个射影线束成透视对应的必要充分条件是对应线束的交点共线；两个射影点列成透视对应的必要充分条件是对应点列的连线共点。
综上所述，在以后遇到的三点共线与三线共点问题，均可优先考虑上述定理，更重要的是，前面两对对偶定理均可互推，这为我们解此类问题提供了更加简洁的方法。
参考文献
[1] 朱德祥、朱维宗.高等几何（第二版）[M].高等教育出版社，2007.7
[2] 赵临龙.射影几何对偶原理的优越性[J].重庆科技学院学报(自然科学版),2010.2:176-177
摘要：三点共线与三线共点是几何学习中经常遇到的一类问题。本文利用射影几何的德萨格定理及其对偶定理（逆定理）、帕斯卡定理及其对偶定理（布利安双定理），给出此类问题的处理方法。
关键词：三点共线 三线共点 对偶命题 德萨格定理 帕斯卡定理 布利安双定理
1 对偶命题
在射影几何中，将一个命题的“点”换成“直线”，同时将“直线”换成“点”，并保持原有结构关系不变，所得到的新命题与原命题是“互为对偶命题”，并且两个互为对偶命题有“同真假”性质的对偶原理。[1]
如点共线问题与线共点问题，就是一对互为对偶命题。
2 三点共线与三线共点定理
德萨格定理[1] 两个三角形ABC和 中，若对应定点的连线共点，则对应边的交点共线。
德萨格对偶定理（逆定理）[1] 设两个三角形中三双对应变的交点共线，则三双对应顶点的连线共点。
帕斯卡定理[1] 设一个六角形内接于一条二次曲线，那么他的三双对边的交点共线（帕斯卡线）。
帕斯卡对偶定理（布利安双定理）[1] 设一个六边形外切于一条二次曲线，那么他的三双对顶的连线共点（布利安双点）。
3 三点共线与三线共点定理的应用
例1 证明任意四边形各对边中点的连线与两对角线的中点的连线交与一点。
证：如图1，设E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DB的中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点。要证EG、FH、NM三线共点，由三角形EFN和GHN可知：EF//GH(//AC)、EN//GM//(AD)、FN//HM(//CD)，则EF×GH=P∞，EN×GM=Q∞，FN×HN=R∞。
因为所有的无穷远点都在无穷远线上，则三点共线，由德萨格对偶定理知EG、FH、NM三线共点。
例2 证明三角形垂心、重心、和外心三点共线。
证：设三角形的重心，垂心，外心分别为H、G、L，另设D、E分别为BC、CA边上的中点,如图2，由三角形DEL和ABH可知：DE//AB，DL//AH(同垂直于BC),EL//BH（同垂直与AC），则三点DE AB、DL AH、EL BH均为无穷远点，所以共线。
由德萨格对偶定理知三线AD、BE、HL共点.又AD BE=G,即点G位于直线HL上，所以H、G、L三点共线。
例3 如图3，四边形ABCD内接于一条二次曲线，若AB×CD＝P,AD×BC＝Q,点B的切点与点D的切点的切线交与点R。证明三点P,Q,R共线。
证：将ABCD视作内接于二次曲线的六点形ABBCDD，顶点编号为1,2,3,4,5,6，按帕斯卡定理，得：
12×45=AB×CD=P,
23×56=BR×DR=R,
34×61=BC×AD=Q。
则P、Q、R三点共线。
对偶的，四线形abcd外切于一条二次曲线，若ab×cd=p，ad与c上切点的连线为q，bc与d上的切点的连线为r，则三线p，q，r共点。
4 对偶元素点共线与线共点结论的应用
在射影几何中，二次曲线的极点与极线也为对偶元素，而且有结论。
二次曲线极点与极线对应关系[1] 非退化的二次曲线极点与极线1-1对应，而且极点共线时，对应的极线共点。
例4 由于P,Q,R三点共线，故它们的极线A1A4，A2A5，A3A6共点（共线点的极线必共点），试利用帕斯卡定理证明布利安双定理。
证：如图4，设A1A2A3A4A5A6为二次曲线的外切六边形，各边的切点依次为B1，B2，……，B6，则B1B2B3B4B5B6为二次曲线的内接六边形，按帕斯卡定理，三点
P=B1B2×B4B5，
Q=B2B3×B5B6，
R＝B3B4×B6B1
共线。
注意到，A1是直线B1B2的极点，A4是直線B4B5的极点，故点P的极线是A1A4（两直线交点的极线是此两直线极的连线）。
同理，点Q的极线是A2A5，点R的极线是A3A6。
由于P,Q,R三极点共线，故它们的极线A1A4，A2A5，A3A6共点（共线点的极线必共点），这正是布利安双定理。
除上述定理外，以下定理也可证明三点共线与三线共点问题：
①帕普斯定理[1] 设直线a上有互异三点A,B,C,直线b上有互异三点A′，B′，C′，那么三点L=BC′×B′C、M=CA′×C′A、N=AB′×A′B共线。
②透视对应结论[1] 两个射影线束成透视对应的必要充分条件是对应线束的交点共线；两个射影点列成透视对应的必要充分条件是对应点列的连线共点。
综上所述，在以后遇到的三点共线与三线共点问题，均可优先考虑上述定理，更重要的是，前面两对对偶定理均可互推，这为我们解此类问题提供了更加简洁的方法。
参考文献
[1] 朱德祥、朱维宗.高等几何（第二版）[M].高等教育出版社，2007.7
[2] 赵临龙.射影几何对偶原理的优越性[J].重庆科技学院学报(自然科学版),2010.2:176-177