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【摘要】广东试行的“3 1 2”新高考模式后，选考物理与选考历史的学生在高中数学的学习中要面临相同的内容.从高中数学核心素养的视角来看，两类学生的培养目标也是基本一致的.本文主要通过课堂教学片段，探讨广东“3 1 2”新高考模式下物理类与历史类学生数学课堂教学设计的异同.
【关键词】新高考;数学核心素养;同课异构
本文讨论的“同课异构”与传统意义上的“同课异构”不太一样，本文的“同课异构”是指在广东“3 1 2”新高考模式下，在面对相同的数学学习内容的情况下，在相同的高中数学核心素养培养目標下，教师针对选考物理与选考历史的两类学生的特点对课堂教学进行“同课异构”，使教学达到殊途同归的效果.笔者认为，在当前新高考模式下，这是值得我们思考的一个问题.下面笔者以高中数学必修5第二章第3.3节“等比数列的前n项和”中的两个教学片段为例，浅谈一些想法.
【片段一】
根据课本中“国际象棋”问题进行情境创设，我们得到：
1 2 22 … 263.（1）
师：这是一个等比数列求和问题，解决等比数列求和问题时能不能利用公式来解决呢？公式如何推导？
师：推导公式前，我们先看如下问题.棋盘的64个方格上，第1格放2粒小麦，第2格放4粒，第3格放8粒，往后每一格放小麦的数量都是前一格的2倍，直到第64格，现在要多少粒小麦？
很多同学不约而同地写出：2 22 23 … 264.（2）
师：现在请同学一起观察式子（1）与（2），它们有什么特点与联系？
师：这两个式子都是项数为64项而且公比为2的等比数列的和，而且（2）式是（1）式的2倍.我们
记：S=1 2 22 … 263，（3）
则2S=2 22 23 … 264.（4）
现在相当于利用上面两个方程求S，你有什么好的办法吗？
不难想到，（4）-（3），得S=264-1.
师：（4）式中的第1项到第63项分别是（3）式中的第2项到第64项，两式相减，这些项都抵消了，这里体现了方程思想.
师：再看如下问题，棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格放小麦的数量都是前一格的q倍，直至第64格，这回需要多少粒小麦？
有了前面的铺垫，不少学生都会得到下面的过程和结果：
S=1 q q2 … q63，（5）
qS=q q2 … q63 q64，（6）
由（5）-（6），得（1-q）S=1-q64，即S=1-q641-q.
类比前面的方法，我们很容易求出了（5）式的值，其思想也是构造出一个（6）式，然后错位相减.但是要注意一点：q=1这一特殊情况对于S=1-q641-q是否也适用？该如何解决该问题？
学生通过讨论得出：当q≠1时，S=1-q641-q;当q=1时，该数列为常数列，S=64.
上面求等比数列的和的方法其实就是“错位相减法”.笔者在渗透类比思想时提出以下问题：
设Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn=a1 a2 a3 … an，那么Sn的公式怎么推导？上面所用的“错位相减法”对你是否有所启发？
在上面的引导下，不少学生完成了以下推导：
Sn=a1 a2 a3 … an=a1 a1q a1q2 … a1qn-1，（7）
qSn=a1q a1q2 a1q3 … a1qn，（8）
（7）-（8），得（1-q）Sn=a1-a1qn.
再讨论q是否等于1：当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q;当q=1时，该数列为常数列，S=na1.至此基本完成了等比数列前n项和公式的推导.
片段一通过问题的改编，给了学生一个解决问题的阶梯，或者说向学生渗透了一种解决问题的方法——类比法.
【片段二】
采用与片段一相同的情境创设，得到
1 2 22 … 263.（9）
师：这是一个等比数列求和问题.设Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn=a1 a2 a3 … an，请探究Sn怎么求.
该片段直接从解决问题的本质出发：如何解决一般的等比数列求和问题？为了引导学生思考，笔者设置了如下思考问题.
（1）回顾等差数列前n项和公式的推导方法（倒序相加求和），它能用来推导等比数列前n项和公式吗？
（2）已知Sn=11×2 12×3 13×4 … 1n（n 1），求Sn.
这是“等差数列求和”一课的课后练习题目，采用的方法是“裂项相消法”.
通过上面两个问题，可以看出，求和的本质就是利用数列的结构特征或者利用数列的性质减少项数，从而达到化简的目的，这是思考等比数列求和公式的一个方向.故教师可以引领学生从解决数列求和问题的本质出发：消除差异，减少项数，而要做到这一点，就要充分利用数列项的结构特征或者数列本身的性质.学生领悟到这一点后，教师从旁给予适当引导，可能出现以下的解法.
解法一：“错位相减法”
根据等比数列的通项公式an=a1qn-1，得
Sn=a1 a2 a3 … an=a1 a1q a1q2 … a1qn-1，（10）
qSn=a1q a1q2 a1q3 … a1qn，（11）
（10）-（11），得（1-q）Sn=a1-a1qn.
再引导学生，讨论q是否等于1，可得：当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q;当q=1时，该数列为常数列，S=na1. 教师对数学公式的教学不仅要重视结果，更要体现公式产生的过程和本质.等比数列的前n项和公式的本质就是利用结构特征消除差异，减少项数.解法一其实就是“错位相减法”，但是如果把问题放回到解决求和问题的本质，既可以打消学生关于式子两边为什么乘q的疑虑，又可以讓学生在感悟结构的过程中整体把握数学方法，理解数学本质.
解法二：“裂项相消法”
当q≠1时，1=1-q1-q=11-q-q1-q，
Sn=a1 a2 a3 … an=a1 a1q a1q2 … a1qn-1=a1（1 q q2 … qn-1）=a111-q-q1-q q1-q-q21-q q21-q-q31-q … qn-11-q-qn1-q=a1-a1qn1-q.
当q=1时，与解法一类似.
解法二的最终目的也是利用项的结构特征来减少项数，比较难想到，但如果类比裂项相消，令Sn=a1-a1qn1-q=a11-q-a1qn1-q，然后在这两项中插入a1q1-q，a1q21-q，a1q31-q，…，a1qn-11-q，思路就水到渠成了.
片段二从结构的观念与方法出发进行归纳，让学生明白数列求和不再只是纯粹的解题技巧，而是一种数学思想，“错位相减”和“裂项相消”只不过是实现这种思想的桥梁而已.
以上两个教学片段采用相同的情境引入，但是公式的推导过程完全不一样.片段一由特殊到一般，层层递进，采用类比的思想，引入错位相减法;片段二直接从问题的本质出发，从方法论的角度重建数列求和方法.笔者认为，在广东新高考的模式下，物理类、历史类学生的数学课堂就应该“区别对待”，选考历史的学生更适用片段一，而选考物理的学生更适用片段二.但是从高中数学核心素养的培养视角而言，两者的培养效果应该是一致的.
同样的教学内容，相同的数学核心素养培养目标，不一样的教学设计，笔者认为这样的“同课异构”会更贴合新高考模式中两类学生的实际，使两类学生都学有所获.如果采用统一的教学设计，可能无法让学生的能力得到充分发展.以上片段只是作为高中数学众多内容中的一个，但是如果用心去探究，我们就会发现高中数学中很多章节内容都可用类似的“同课异构”去进行数学教学以应对当前新高考模式.
【参考文献】
[1]何卫华.还以数学本质的教学：以“等比数列前n项和公式”为例[J].中学数学月刊，2014（6）.
[2]徐章韬.结构观点下的等差、等比数列求和公式的推导[J].中学数学教育，2014（06）;19-21.
[3]陈勇.众里寻他，老曲新唱：也谈“等比数列前n项和公式”的教学设计[J].数学学习与研究，2012（3）.
【关键词】新高考;数学核心素养;同课异构
本文讨论的“同课异构”与传统意义上的“同课异构”不太一样，本文的“同课异构”是指在广东“3 1 2”新高考模式下，在面对相同的数学学习内容的情况下，在相同的高中数学核心素养培养目標下，教师针对选考物理与选考历史的两类学生的特点对课堂教学进行“同课异构”，使教学达到殊途同归的效果.笔者认为，在当前新高考模式下，这是值得我们思考的一个问题.下面笔者以高中数学必修5第二章第3.3节“等比数列的前n项和”中的两个教学片段为例，浅谈一些想法.
【片段一】
根据课本中“国际象棋”问题进行情境创设，我们得到：
1 2 22 … 263.（1）
师：这是一个等比数列求和问题，解决等比数列求和问题时能不能利用公式来解决呢？公式如何推导？
师：推导公式前，我们先看如下问题.棋盘的64个方格上，第1格放2粒小麦，第2格放4粒，第3格放8粒，往后每一格放小麦的数量都是前一格的2倍，直到第64格，现在要多少粒小麦？
很多同学不约而同地写出：2 22 23 … 264.（2）
师：现在请同学一起观察式子（1）与（2），它们有什么特点与联系？
师：这两个式子都是项数为64项而且公比为2的等比数列的和，而且（2）式是（1）式的2倍.我们
记：S=1 2 22 … 263，（3）
则2S=2 22 23 … 264.（4）
现在相当于利用上面两个方程求S，你有什么好的办法吗？
不难想到，（4）-（3），得S=264-1.
师：（4）式中的第1项到第63项分别是（3）式中的第2项到第64项，两式相减，这些项都抵消了，这里体现了方程思想.
师：再看如下问题，棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格放小麦的数量都是前一格的q倍，直至第64格，这回需要多少粒小麦？
有了前面的铺垫，不少学生都会得到下面的过程和结果：
S=1 q q2 … q63，（5）
qS=q q2 … q63 q64，（6）
由（5）-（6），得（1-q）S=1-q64，即S=1-q641-q.
类比前面的方法，我们很容易求出了（5）式的值，其思想也是构造出一个（6）式，然后错位相减.但是要注意一点：q=1这一特殊情况对于S=1-q641-q是否也适用？该如何解决该问题？
学生通过讨论得出：当q≠1时，S=1-q641-q;当q=1时，该数列为常数列，S=64.
上面求等比数列的和的方法其实就是“错位相减法”.笔者在渗透类比思想时提出以下问题：
设Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn=a1 a2 a3 … an，那么Sn的公式怎么推导？上面所用的“错位相减法”对你是否有所启发？
在上面的引导下，不少学生完成了以下推导：
Sn=a1 a2 a3 … an=a1 a1q a1q2 … a1qn-1，（7）
qSn=a1q a1q2 a1q3 … a1qn，（8）
（7）-（8），得（1-q）Sn=a1-a1qn.
再讨论q是否等于1：当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q;当q=1时，该数列为常数列，S=na1.至此基本完成了等比数列前n项和公式的推导.
片段一通过问题的改编，给了学生一个解决问题的阶梯，或者说向学生渗透了一种解决问题的方法——类比法.
【片段二】
采用与片段一相同的情境创设，得到
1 2 22 … 263.（9）
师：这是一个等比数列求和问题.设Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn=a1 a2 a3 … an，请探究Sn怎么求.
该片段直接从解决问题的本质出发：如何解决一般的等比数列求和问题？为了引导学生思考，笔者设置了如下思考问题.
（1）回顾等差数列前n项和公式的推导方法（倒序相加求和），它能用来推导等比数列前n项和公式吗？
（2）已知Sn=11×2 12×3 13×4 … 1n（n 1），求Sn.
这是“等差数列求和”一课的课后练习题目，采用的方法是“裂项相消法”.
通过上面两个问题，可以看出，求和的本质就是利用数列的结构特征或者利用数列的性质减少项数，从而达到化简的目的，这是思考等比数列求和公式的一个方向.故教师可以引领学生从解决数列求和问题的本质出发：消除差异，减少项数，而要做到这一点，就要充分利用数列项的结构特征或者数列本身的性质.学生领悟到这一点后，教师从旁给予适当引导，可能出现以下的解法.
解法一：“错位相减法”
根据等比数列的通项公式an=a1qn-1，得
Sn=a1 a2 a3 … an=a1 a1q a1q2 … a1qn-1，（10）
qSn=a1q a1q2 a1q3 … a1qn，（11）
（10）-（11），得（1-q）Sn=a1-a1qn.
再引导学生，讨论q是否等于1，可得：当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q;当q=1时，该数列为常数列，S=na1. 教师对数学公式的教学不仅要重视结果，更要体现公式产生的过程和本质.等比数列的前n项和公式的本质就是利用结构特征消除差异，减少项数.解法一其实就是“错位相减法”，但是如果把问题放回到解决求和问题的本质，既可以打消学生关于式子两边为什么乘q的疑虑，又可以讓学生在感悟结构的过程中整体把握数学方法，理解数学本质.
解法二：“裂项相消法”
当q≠1时，1=1-q1-q=11-q-q1-q，
Sn=a1 a2 a3 … an=a1 a1q a1q2 … a1qn-1=a1（1 q q2 … qn-1）=a111-q-q1-q q1-q-q21-q q21-q-q31-q … qn-11-q-qn1-q=a1-a1qn1-q.
当q=1时，与解法一类似.
解法二的最终目的也是利用项的结构特征来减少项数，比较难想到，但如果类比裂项相消，令Sn=a1-a1qn1-q=a11-q-a1qn1-q，然后在这两项中插入a1q1-q，a1q21-q，a1q31-q，…，a1qn-11-q，思路就水到渠成了.
片段二从结构的观念与方法出发进行归纳，让学生明白数列求和不再只是纯粹的解题技巧，而是一种数学思想，“错位相减”和“裂项相消”只不过是实现这种思想的桥梁而已.
以上两个教学片段采用相同的情境引入，但是公式的推导过程完全不一样.片段一由特殊到一般，层层递进，采用类比的思想，引入错位相减法;片段二直接从问题的本质出发，从方法论的角度重建数列求和方法.笔者认为，在广东新高考的模式下，物理类、历史类学生的数学课堂就应该“区别对待”，选考历史的学生更适用片段一，而选考物理的学生更适用片段二.但是从高中数学核心素养的培养视角而言，两者的培养效果应该是一致的.
同样的教学内容，相同的数学核心素养培养目标，不一样的教学设计，笔者认为这样的“同课异构”会更贴合新高考模式中两类学生的实际，使两类学生都学有所获.如果采用统一的教学设计，可能无法让学生的能力得到充分发展.以上片段只是作为高中数学众多内容中的一个，但是如果用心去探究，我们就会发现高中数学中很多章节内容都可用类似的“同课异构”去进行数学教学以应对当前新高考模式.
【参考文献】
[1]何卫华.还以数学本质的教学：以“等比数列前n项和公式”为例[J].中学数学月刊，2014（6）.
[2]徐章韬.结构观点下的等差、等比数列求和公式的推导[J].中学数学教育，2014（06）;19-21.
[3]陈勇.众里寻他，老曲新唱：也谈“等比数列前n项和公式”的教学设计[J].数学学习与研究，2012（3）.