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平面向量数量积，历来是平面向量高考命题的主要考点.由于平面向量数量积的运算具有一定的技巧，在高考中往往得分率不高.如何“突破”这个考点？
一、直接利用定义或公式
例1 （1）（2014·重庆）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），|b|=10，则a·b=.
（2）（2015·广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=（1，-2），AD=（2，1），则AD·AC=.
解析：（1）因为a=（-2，-6），
所以|a|=（-2）2 （-6）2=210，
又|b|=10，向量a与b的夹角为60°，
所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB AD=（1，-2） （2，1）=（3，-1），
所以AD·AC=2×3 1×（-1）=5.
评注：利用定义法直接求向量的数量积难度不大，只需记住数量积的定义公式和坐标运算公式.
例2 （2014·江西）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=13，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，则cosβ=.
解析：因为a2=（3e1-2e2）2=9-2×3×2×cosα 4=9，所以|a|=3，b2=（3e1-e2）2=9-2×3×1×cosα 1=8，所以|b|=22，a·b=（3e1-2e2）·（3e1-e2）=9e21-9e1·e2 2e22=9-9×1×1×13 2=8，所以cosβ=a·b|a|·|b|=83×22=223.
评注：已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），它们的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||b|=x1x2 y1y2x21 y21·x22 y22，利用这个公式可直接求出两个向量的夹角.
二、构造基底
例3 （2015·山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则BD·CD=（）
A. -32a2
B. -34a2
C. 34a2
D. 32a2
解析：因为AD与AB的模都为a，且它们的夹角为∠BAD=180°-∠ABC=120°，
故可将AD与AB作为基底向量分别表示出BD与CD，于是
BD·CD=（AD-AB）·（-AB）=-AB·AD AB2=-a·acos120° a2=32a2，故选D.
评注：基底法作为向量数量积运算的基本方法之一，必须首先选择基底向量，作为基底向量，它们必须不共线，且它们的模与夹角必须都已知，或经过计算可以求得.
例4 （2015·天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，则AE·AF的最小值为.
解析：因为DF=19λDC，DC=12AB，
CF=DF-DC=19λDC-DC=1-9λ9λDC=1-9λ18λAB，
AE=AB BE=AB λBC，
AF=AB BC CF=AB BC 1-9λ18λAB=1 9λ18λAB BC，
AE·AF=（AB λBC）·（1 9λ18λAB BC）=1 9λ18λAB2 λBC2 （1 λ1 9λ18λ）AB·BC
=1 9λ18λ×4 λ 19 9λ18×2×1×cos120°
=29λ 12λ 1718≥229λ·12λ 1718=2918，
当且仅当29λ=12λ，即λ=23时AE·AF的最小值为2918.
评注：本例以向量AB，BC作为基底，利用数量积定义，最终把原问题转化为一元函数的最值问题.
三、建立坐标系
例5 （2014·天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，则λ的值为 .
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.设E（x1，y1），F（x2，y2），
由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1 3），
可得E（13，-233）；
由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.
∵AE·AF=（43，-233）·（1λ 1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.
评注：解析法又叫坐标法，即恰当建立直角坐标系，将平面向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而减少思维量.
例6 （2015·福建）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP=AB|AB| 4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于（）
A. 13 B. 15 C. 19 D. 21
解析：以点A为原点，AB，AC的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则AB=（1t，0），AC=（0，t），AP=（1，4），所以PB=AB-AP=（1t-1，-4），PC=AC-AP=（-1，t-4），
所以PB·PC=-（1t-1）-4（t-4）=-（1t 4t） 17≤-21t4t 17=13，当且仅当t=12时取等号.故选A.
评注：因为题中出现两向量垂直，故可以它们所在的方向为x轴、y轴的正方向建立坐标系，从而利用向量的坐标运算公式，轻而易举地把向量数量积的最值问题转化为函数最值问题，这种向量问题代数化的方法，往往对向量中的最值问题十分有效.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）
一、直接利用定义或公式
例1 （1）（2014·重庆）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），|b|=10，则a·b=.
（2）（2015·广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=（1，-2），AD=（2，1），则AD·AC=.
解析：（1）因为a=（-2，-6），
所以|a|=（-2）2 （-6）2=210，
又|b|=10，向量a与b的夹角为60°，
所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB AD=（1，-2） （2，1）=（3，-1），
所以AD·AC=2×3 1×（-1）=5.
评注：利用定义法直接求向量的数量积难度不大，只需记住数量积的定义公式和坐标运算公式.
例2 （2014·江西）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=13，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，则cosβ=.
解析：因为a2=（3e1-2e2）2=9-2×3×2×cosα 4=9，所以|a|=3，b2=（3e1-e2）2=9-2×3×1×cosα 1=8，所以|b|=22，a·b=（3e1-2e2）·（3e1-e2）=9e21-9e1·e2 2e22=9-9×1×1×13 2=8，所以cosβ=a·b|a|·|b|=83×22=223.
评注：已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），它们的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||b|=x1x2 y1y2x21 y21·x22 y22，利用这个公式可直接求出两个向量的夹角.
二、构造基底
例3 （2015·山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则BD·CD=（）
A. -32a2
B. -34a2
C. 34a2
D. 32a2
解析：因为AD与AB的模都为a，且它们的夹角为∠BAD=180°-∠ABC=120°，
故可将AD与AB作为基底向量分别表示出BD与CD，于是
BD·CD=（AD-AB）·（-AB）=-AB·AD AB2=-a·acos120° a2=32a2，故选D.
评注：基底法作为向量数量积运算的基本方法之一，必须首先选择基底向量，作为基底向量，它们必须不共线，且它们的模与夹角必须都已知，或经过计算可以求得.
例4 （2015·天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，则AE·AF的最小值为.
解析：因为DF=19λDC，DC=12AB，
CF=DF-DC=19λDC-DC=1-9λ9λDC=1-9λ18λAB，
AE=AB BE=AB λBC，
AF=AB BC CF=AB BC 1-9λ18λAB=1 9λ18λAB BC，
AE·AF=（AB λBC）·（1 9λ18λAB BC）=1 9λ18λAB2 λBC2 （1 λ1 9λ18λ）AB·BC
=1 9λ18λ×4 λ 19 9λ18×2×1×cos120°
=29λ 12λ 1718≥229λ·12λ 1718=2918，
当且仅当29λ=12λ，即λ=23时AE·AF的最小值为2918.
评注：本例以向量AB，BC作为基底，利用数量积定义，最终把原问题转化为一元函数的最值问题.
三、建立坐标系
例5 （2014·天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，则λ的值为 .
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.设E（x1，y1），F（x2，y2），
由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1 3），
可得E（13，-233）；
由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.
∵AE·AF=（43，-233）·（1λ 1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.
评注：解析法又叫坐标法，即恰当建立直角坐标系，将平面向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而减少思维量.
例6 （2015·福建）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP=AB|AB| 4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于（）
A. 13 B. 15 C. 19 D. 21
解析：以点A为原点，AB，AC的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则AB=（1t，0），AC=（0，t），AP=（1，4），所以PB=AB-AP=（1t-1，-4），PC=AC-AP=（-1，t-4），
所以PB·PC=-（1t-1）-4（t-4）=-（1t 4t） 17≤-21t4t 17=13，当且仅当t=12时取等号.故选A.
评注：因为题中出现两向量垂直，故可以它们所在的方向为x轴、y轴的正方向建立坐标系，从而利用向量的坐标运算公式，轻而易举地把向量数量积的最值问题转化为函数最值问题，这种向量问题代数化的方法，往往对向量中的最值问题十分有效.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）