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[摘要] 本文讨论了非线性Schrӧdinger方程的插值系数时空有限元法。利用有限元方法与有限差分方法相结合的技巧，证明了插值系数有限元弱解的存在唯一性，并给出了时间最大模，空间模，即模的误差估计。
[关键字] 非线性Schrӧdinger方程插值系数有限元方法时空有限元方法模误差估计
引言
非线性Schrӧdinger方程在量子力学，非线性光学，地震学等学科中有着非常广泛的应用，很多学者对它进行了大量的研究。如Delfour等人提出了有限差分格式，Ohannes Karakashian[1],[2]，李宏[3]等人利用时空间断的时空有限元方法讨论了其弱解的存在性和收敛性，而对抛物型问题的研究和计算中，Zlamal提出了插值系数有限元法，陈传淼[6]的著作也表明，插值系数有限元是计算此类弱非线性问题的有效方法。现考虑非线性Schrӧdinger偏微分方程：
(1)
其中，,是定义在上的复值函数，是一个实参数。
本文首先给出定义与符号说明，接着给出（1）的弱解的存在唯一性证明，然后证明了插值系数时空有限元解的模误差估计。
1.定义与符号说明
对时间区间进行剖分:,时间步长。定义时空区域,时空片。并记是的一种剖分，是剖分单元，是单元的直径，。
定义1：在每一时间区间上定义有限元容许函数空间，
其中，是上的多项式。
定义2:有限维试探函数空间，对，是的次多项式。并且在时间剖分点处允许间断。
用来表示阶的Sobolev复空间，它的模记为，和为通常的Sobolev空间,它们的分别记为和。再记
，
及对给定的，
2.弱解的存在唯一性
首先给出方程(1)的弱形式
(2)
这里，当时，该弱形式的解也即方程（1）的弱形式的解。函数满足：
；
L为Lipschitz常数，c为正常数。下面证明弱解的存在唯一性，为此对于任意的,考虑Lobatto积分法则
此积分法则具有阶代数精度。在插值节点处定义Lagrange插值函数，，为了把[0,1]区间映射到区间上，作线性变换，则有
，
再考虑阶的Lagrange多项式，则有。让，则利用Lagrange插值，可表示为
其中
然后利用插值系数的方法来处理非线性项，用代替，如果这时取，令。通过整理，则方程(1.2)也即等价于以下方程
(3)
由文献[2]，得到
引理1：对有下述等价范数成立：
。
引理2：
令，则是正定的，即对,有：。
又令，这时，则对有
(4)
定理1：方程(2)存在唯一解的充要条件是，如果是中给定的解，则对充分小的，存在是方程(4)的解。
证明：设是有限维Hilbert空间，对，定义内积为 ，相应的模定义为。定义映射
由于是连续映射，所以A也是连续映射，根据Brower不动点定理，A存在不动点，因此方程(4)有解，不妨设为V，下面证明解的唯一性，设是方程的两个不同的解，则令，并对从1到求和，
根据引理2上式第一项有，，由引理1，以及，结合函数自身所具有的性质，有
由此我们可以得到 ，取，则得即。唯一性得证。
3.误差估计
定义时间区间上的Lagrange插值算子，使得。插值节点为Lobatto点,对任意的我们有。
然后定义椭圆投影，满足
。
根据上述定义，可以得到这些性质
引理3：令，有如下的误差估计
引理4：对任意的,当有下述不等式成立
；
；
其中
定理2 设和分别是方程(1.1)和方程(1.4)的解，则有如下的模误差估计
其中，
证明：利用。通过引理4 可以得到下式
结合引理3就可证得到定理2。
参考文献：
[1] O.Karakashian, C.Makridakis, A space-time finite element method for the nonlinear Schrӧdinger equation: the discontinuous Galerkin method [J], Math.comp, 1998,67(222):479-499.
[2] O.Karakashian, C.Makridakis, A space-time finite element method for the nonlinear Schrӧdinger equation: the continuous Galerkin method[J].Industrial and applied Mathematics.1999,36(6):1779-1807.
[3] 李宏,刘儒勋.抛物方程的时空有限元法[J].应用数学和力学.2001.6,6(22):613-624.
[4] 汤琼，陈传淼，刘罗华.Schrӧdinger方程的时空有限元方法与守恒性[J].应用数学和力学.2006.3,3(27): 300-305.
[5] 熊之光，陈传淼.三角形二次插值系数有限元法解半线性椭圆问题的超收敛性[J].数学物理学报.2006,26A (2): 174-182.
[6] 陈传淼.有限元超收敛构造理论[M]. 长沙，湖南科技出版社，1995.
基金项目：
湖南省自然科学基金资助项目（09JJ3011，湖南科技大学研究生创新基金资助项目（S090123）
[关键字] 非线性Schrӧdinger方程插值系数有限元方法时空有限元方法模误差估计
引言
非线性Schrӧdinger方程在量子力学，非线性光学，地震学等学科中有着非常广泛的应用，很多学者对它进行了大量的研究。如Delfour等人提出了有限差分格式，Ohannes Karakashian[1],[2]，李宏[3]等人利用时空间断的时空有限元方法讨论了其弱解的存在性和收敛性，而对抛物型问题的研究和计算中，Zlamal提出了插值系数有限元法，陈传淼[6]的著作也表明，插值系数有限元是计算此类弱非线性问题的有效方法。现考虑非线性Schrӧdinger偏微分方程：
(1)
其中，,是定义在上的复值函数，是一个实参数。
本文首先给出定义与符号说明，接着给出（1）的弱解的存在唯一性证明，然后证明了插值系数时空有限元解的模误差估计。
1.定义与符号说明
对时间区间进行剖分:,时间步长。定义时空区域,时空片。并记是的一种剖分，是剖分单元，是单元的直径，。
定义1：在每一时间区间上定义有限元容许函数空间，
其中，是上的多项式。
定义2:有限维试探函数空间，对，是的次多项式。并且在时间剖分点处允许间断。
用来表示阶的Sobolev复空间，它的模记为，和为通常的Sobolev空间,它们的分别记为和。再记
，
及对给定的，
2.弱解的存在唯一性
首先给出方程(1)的弱形式
(2)
这里，当时，该弱形式的解也即方程（1）的弱形式的解。函数满足：
；
L为Lipschitz常数，c为正常数。下面证明弱解的存在唯一性，为此对于任意的,考虑Lobatto积分法则
此积分法则具有阶代数精度。在插值节点处定义Lagrange插值函数，，为了把[0,1]区间映射到区间上，作线性变换，则有
，
再考虑阶的Lagrange多项式，则有。让，则利用Lagrange插值，可表示为
其中
然后利用插值系数的方法来处理非线性项，用代替，如果这时取，令。通过整理，则方程(1.2)也即等价于以下方程
(3)
由文献[2]，得到
引理1：对有下述等价范数成立：
。
引理2：
令，则是正定的，即对,有：。
又令，这时，则对有
(4)
定理1：方程(2)存在唯一解的充要条件是，如果是中给定的解，则对充分小的，存在是方程(4)的解。
证明：设是有限维Hilbert空间，对，定义内积为 ，相应的模定义为。定义映射
由于是连续映射，所以A也是连续映射，根据Brower不动点定理，A存在不动点，因此方程(4)有解，不妨设为V，下面证明解的唯一性，设是方程的两个不同的解，则令，并对从1到求和，
根据引理2上式第一项有，，由引理1，以及，结合函数自身所具有的性质，有
由此我们可以得到 ，取，则得即。唯一性得证。
3.误差估计
定义时间区间上的Lagrange插值算子，使得。插值节点为Lobatto点,对任意的我们有。
然后定义椭圆投影，满足
。
根据上述定义，可以得到这些性质
引理3：令，有如下的误差估计
引理4：对任意的,当有下述不等式成立
；
；
其中
定理2 设和分别是方程(1.1)和方程(1.4)的解，则有如下的模误差估计
其中，
证明：利用。通过引理4 可以得到下式
结合引理3就可证得到定理2。
参考文献：
[1] O.Karakashian, C.Makridakis, A space-time finite element method for the nonlinear Schrӧdinger equation: the discontinuous Galerkin method [J], Math.comp, 1998,67(222):479-499.
[2] O.Karakashian, C.Makridakis, A space-time finite element method for the nonlinear Schrӧdinger equation: the continuous Galerkin method[J].Industrial and applied Mathematics.1999,36(6):1779-1807.
[3] 李宏,刘儒勋.抛物方程的时空有限元法[J].应用数学和力学.2001.6,6(22):613-624.
[4] 汤琼，陈传淼，刘罗华.Schrӧdinger方程的时空有限元方法与守恒性[J].应用数学和力学.2006.3,3(27): 300-305.
[5] 熊之光，陈传淼.三角形二次插值系数有限元法解半线性椭圆问题的超收敛性[J].数学物理学报.2006,26A (2): 174-182.
[6] 陈传淼.有限元超收敛构造理论[M]. 长沙，湖南科技出版社，1995.
基金项目：
湖南省自然科学基金资助项目（09JJ3011，湖南科技大学研究生创新基金资助项目（S090123）