与其他图论分支一样，图在曲面上的嵌入理论与著名的四色问题有着千丝万缕的联系，这四色问题最早是由Calyey在1878年提出的．在1890年Heawood提出著名的地图着色定理后，Hilbert等人又将它归结为引线问题，即在曲面S<,p>(p表示S<,p>的亏格)上给定n(n≥3)个不同点，能否用简单曲线(引线)两两连接这n个点使得这些连线在曲面上互不相交?用图论术语而言，引线问题与确定完全图K<,n>的亏格，γ(K<,n>)等价．自然确定一般图的亏格又是上述问题的推广．尽管Heawood地图着色问题早在1986年得以完全解决，然而它给图论开辟了一个至今不衰的新课题一图在曲面上的嵌入． 这里，曲面通常是指一个紧的， 2-维流形(可定向或不可定向)，其亏格表示为h(S)，连通图G在曲面S上的一个嵌入是指存在一个拓扑同胚映射，f:G→S使得S，f(G)的每个连通分支与圆盘拓扑等价，人们通常称之为2-一胞腔嵌入．图G的亏格γ(G)是指最小的整数g(S)使得G在曲面S上有2-胞腔嵌入．而图G的最大亏格，γM(G)是指最大的整数g(S)使得G在曲面S上有2-胞腔嵌入．1966年Duke证明了图的亏格插值定理，即如果图G在两个可定向(或不可定向)曲面S<,m>和S<,n>(m≤n)上都有2-胞腔嵌入，则G在任意可定向(或不可定向)曲面S<,k>(m≤k≤n)也有2-胞腔嵌入。因此在考虑G的所有可嵌入的曲面，只需确定它的亏格(也称最小亏格)，γ(G)和最大亏格γM(G)． 由著名的欧拉公式，我们知道最大亏格有一个很显然的上界γM(G)≤[β(G)/2]，这里，β(G)=|E(G)|-|V(G)|+1称为图G的Betti数，也称为圈秩．一个图被称为是上可嵌入的是指，γM(G)：[β(G)/2]．基于图在不可定向曲面下，早在70年代末，Ringel，刘彦佩等独立地证明所有图都是上可嵌入的．因此对图的最大亏格的研究一般都指在可定向曲面情形下，自从70年代初，由Nordhaus,Stcwart和White等人引进图的最大亏格以来，至今这一领域仍然是拓扑图论中的一个十分活跃的方面． 本文主要是研究图的最大亏格，共分五章． 第一章概述图在曲面上的嵌入问题中关于最大亏格研究的历史和现状，然后对本文的工作做了简要介绍． 第二章我们得出了一些上可嵌入的图类，它们具有一些特殊的邻域条件，或特殊的边，或特殊的不相邻点的度和，或者根据条件构造出来的新图等等．其中，第三章我们主要利用图的一些参数条件，例如直径、边连通度、围长、点独立数等等，给出了最大亏格的紧下界．其中，推广了Archdeaucon等人，以及黄元秋等人的一些结果． 第四章给出了两类图N<,τ>和L<,2k>的完全亏格多项式．_由于现有知道完全亏格多项式的图类很少，基于这个目的，本章可视为在这方面的补充． 第五章指出了应该继续考虑的问题．