该文讨论了分形插值问题(FIP),分析了分形插值问题的三种几何形式,建立了三种分形插值的自由控制理论.首先,对分形集合的彼此相似与自相似概念作了推广与分类,提出了一系列概念,获得了关于度量自相似与拟度量自相似集合的局部与整体之间的维数关系定理.其次,提出了可以利用光滑性,来区分分形曲线(定义为非分段光滑)与非分形曲线(定义为分段光滑益线)的概念,使得对分形曲线的定义,不仅严格化而且便于判断.提出了分形插值应该有三种几何形式,即y值形式(平向插值)、θ值形式(旋向插值)、ρ值形式(径向插值).明确区分了插值函数与插值曲线的概念,给出了分形插值问题的一般定义,并对三类分形插值问题给出了统一处理,证明了在仿射IFS、全息IFS、局息IFS下,三类分形插值曲线都是连续的参数曲线.然后,定义了直角坐标空间带状分解与极坐标空间的X型分解,证明了直角坐标空间的带状分解与极坐标空间的X型分解之间存在局部双Lipschitz映射.分别在仿射IFS、全息IFS、局息IFS下,讨论了y值、θ值、ρ值三类插值曲线的维数关系.获得了三者的维数关系定理.最后,建立了分形插值自由控制理论,包括形状控制理论与范围控制理论.讨论了y值、θ值、ρ值三类插值曲线的形状控制方法(局息方法)与范围控制方法(上下栏函数方法),获得了一系列中间结果,给出了最一般的形状范围控制定理,并得到了一系列推论.同时,分别在仿射IFS、全息IFS、局息IFS下,对y值、θ值、ρ值三类插值曲线给出了绘图实例.