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[摘 要]发现一个问题比解决一个问题更重要。在数学课堂中，要努力让学生成为数学问题的发现者，并以此作为推进课堂进程和促进学生学习的重要方式。为了达成这一目标，教师要善于依托新知引入、新知形成、新知深化等学生的“认知节点”，引导学生发现问题。通过教师引领、同伴互动、自我提问等角度，让学生领悟发现问题的一些方法，不断增强发现问题的本领。
[关键词]数学问题 发现 认知节点 提问方法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）05-015
【课堂实践】
一、激疑引新，唤醒经验
1.口算抢答——引出“准”
师：通过四年的数学学习，同学们已经掌握了加、减、乘、除这四种运算的基本方法。今天这节课，首先进行一个关于加法的小测试，看谁的反应快。（大屏幕依次出现6、7、2、3、4、8，生按顺序相加得到总和30）
师：恭喜！你们已经达到计算水平的第一层次——准。（板书）
2.全面观察——引出“巧”
师：当这六个数一起展现在你的面前，让你求和时，除了按照刚才从左到右的顺序依次相加外，现在又有什么新的想法？
生1：可以采用两两结合的方法求和，因为每组两个数刚好凑十。
（呈现方法：6 7 2 3 4 8=（6 4） （7 3） （2 8）=30）
师：佩服！你们的计算水平已经上升到——巧。（板书：巧）这种方法与按顺序加相比，巧在何处？
生2：巧在把能“凑十”的两个数先加。（板书：凑十）
师：请仔细观察，为了凑十，我们对原来的算式做了哪些“手术”？
生3：把一些数的位置改变了，进行了调换。
生4：没有按照从左到右的顺序计算，而是把凑十的两个数先算。
（适时提炼板书：“交换加数位置”“改变运算顺序”）
3.无疑生疑——促探索
师：对于你们大胆地给这道连加算式实施的这两个“手术”，老师产生了疑问。你们知道老师产生了什么疑问吗？
（生讨论、猜想、提问）
二、举例说理，提炼经验
1.教学加法交换律
师：请注意，老师产生的疑问是“交换加数的位置，和会发生变化吗？”（在“交换加数位置”上打上一个“？”）
生1：不会。比如4 3和3 4，都等于7，它们的和是一样的。（板书：4 3=3 4）
师：你不仅回答了问题，而且举了一个简单的例子证明自己的想法，值得表扬。（板书：举例）不过一个例子能证明一个结论是正确的吗？
生2：不能。必须举很多的例子。
师：你们还有其他不同类型的例子吗？
生3：有。比如20 60=60 20。（板书）
师：为什么说这是不同类型的例子呢？
生3：刚才是一位数加法，我这是两位数加法。
师：说得很有道理。还有其他不同类型的例子吗？
生4：220 340=340 220。
师：你是算了两边的得数以后才知道相等，还是一开始就知道相等？
生4：我没有算。因为傻子都知道相等。
师：“傻子都知道”是什么意思？
生5：他的意思是这样的两个式子一定是相等的，不用算就知道。
生6：我们以前在考试中就经常有这样的两个式子让我们选择“﹥”“﹤”“=”填空，我们每次选择“=”都是正确的。
师：也就是说这样的两个式子相等，不是偶然的，而是必然的！既然如此，这当中就一定蕴含着某种道理。你能从道理上讲一讲吗？（板书：说理）
生6：因为在列式时不管你先写哪个数，后写哪个数，最后都是把这两个数加起来，所以一定是相等的。
生7：把两个部分合起来是不分先后顺序的。
师：刚才我们先用 “举例”证实了“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。又用“说理”证明了“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。那么你喜欢用什么方法来表示这个规律呢？（生试写、汇报）
生8：□ ○=○ □。
生9：甲 乙=乙 甲。
生10：蓝色 红色=红色 蓝色。
生11：a b=b a。
师：刚才这么多方法，都比较形象、准确地表示了这条规律，那么你认为哪种表示方法最适合数学呢？为什么？
生12：我认为字母最适合，因为用字母比较简单。
生13：我看过书了，书上就是用字母表示的。（板书：a b=b a）
师：想一想美国的数学书上会怎么表示？其他国家的数学书上会怎么表示？
生14：美国的数学书上肯定用字母表示，因为他们就说英语。其他国家的数学书上也应该用字母表示吧。
师：说得对。这是全世界数学界的统一规定。之所以选择用字母表示，最主要的原因当然是因为它简单方便，但你们有没有想过或许有其他的原因呢？
生15：我想可能是因为美国的科学领先，经济发达，所以英语是世界上最通用的语言。不过随着我们中国越来越强大，学汉语的人也会越来越多。
师：是的，现在世界上确实掀起了一股“汉语热”。试着给这条规律起个名字吧？
生16：加法交换律。（板书）
2.教学加法结合律
师：刚才我们讨论了两个手术中的第一个手术“交换加数位置”，接下来我们讨论第二个手术“改变运算顺序”。你们能像刚才老师那样针对它提出一个问题吗？
生17：在加法中，改变运算顺序，会不会改变结果呢？
生18：不会。比如（3 4） 5=3 （4 5）。 师：请大家注意观察，生18举的这个例子中，等式两边什么没有变化？什么发生了变化？
生19：三个数的位置没有变化，结果没有变化。
生20：两边计算的顺序不同。
生21：两边结合的方式不一样。
师：我想请问刚才那个同学，你在举这个例子时，是先计算然后知道相等，还是一开始就知道相等？
生18：不用计算。因为不管你采用什么顺序合并，最后都是把这三个部分合在一起，所以改变运算顺序，和不变。
师：你的意思是不用举例了，这也是一条规律。大家同意吗？这条规律叫什么名称？在数学中怎样表示呢？试着自己写一写、议一议。
（生试写、交流，板书揭示“加法结合律”）
师：这就是加法运算中存在的两条重要规律，我们把它们统称为“加法运算律”（板书）。这两条运算律的关键词分别是什么？你是如何理解的？
生19：加法交换律的关键词是“交换”，意思是在加法中可以交换加数的位置；加法结合律的关键词是“结合”，意思是可以改变原来的运算顺序，进行重新结合。
三、回顾既往，贯通经验
师：其实，这两条规律早就陪伴着我们了，只是在今天这个合适的时机把它们提炼出来罢了。瞧，这是我们一年级时候经常练习的“一图两式”，同学们想想看，这里面就有谁的影子？
生1：加法交换律。
师：后来，在计算比较复杂的加法时，为了保证结果的准确，我们也经常像这样用交换两个加数位置的方法进行验算。现在看来，这是哪一条规律的应用？
生2：加法交换律。
师：用凑十法帮助我们计算20以内进位加法，需经历这样的思考过程。这当中有谁的影子？
生3：加法结合律。
师：解决这样一个实际问题可以用两种不同的思路，最后得到的结果一样。这其实是对哪种规律的有力证明？
生4：加法结合律。
师：如此看来，今天所学的新知识还算是新知识吗？
生5：不是！其实我们早就知道了。
师：是的。这正是数学知识发展的特点“旧中有新，新中有旧”。但不要忘了一个前提条件，那就是要想学好新知识，先要——
生6：学好旧知识。
四、练习延伸，提升经验
1.让学生练习书上“想想做做”第1题和第2题（过程略）
2.介绍“高斯求和问题”
师：在人类的数学发展史上，曾经有一位伟大的数学家把加法的交换律和结合律用到了极致，同学们想了解吗？（依次出示高斯问题的背景和思维过程）请同学们比较一下，为了实现“巧算”，我们运用加法运算律是为了“凑整”，而高斯是为了什么？
生1：是为了把每一组的和都变成101，这样就有50个101，就是5050。
师：简单地说，高斯是为了“凑同”。这样就可以把一道复杂的加法变成乘法，简称为“变加为乘”。你觉得这样的思维方式怎么样？
生2：真是太绝妙了！
五、课堂总结，积淀经验（略）
【教后反思】
一、经验贯通，彰显课堂的逻辑力量
好的数学课堂是自然流淌的，应该有一股内在的、强大的逻辑力量在推动着课堂朝着预定的目标不断前行。
鉴于学生经验系统中已经储存了关于新知的丰厚经验，本节课以经验的激活、提炼、拓展和积淀贯通全课。课伊始，用六个数激活学生既有的加法经验，通过“依次相加”和“结合凑十相加”两种不同的方法对比，指明学生提高计算水平的方向——由“准”到“巧”。这六个数，虽然简单，却是一个结构性的学习材料（所谓结构性学习材料是指教师把所要学的知识隐蔽地镶嵌到学习材料中，便于学生通过主动探索重新“发现”、“创造”相应的知识）。利用这一简明的结构性材料，顺利引出本节课的两个关键问题——“交换加数位置”和“改变运算顺序”，给接下来的探讨、交流和对话提供话题。
围绕“交换加数位置”进行交流，是学生既有加法经验的自然输出，最后通过归纳总结，抽象表达出规律，引导学生经历了数学模型的建构过程，培养了符号意识，提升了经验水平。探讨“改变运算顺序”，则是刚刚获得的思维活动经验和建模经验的主动迁移和再次强化，它为今后探索其他运算律打下伏笔。
“对以往学习历程的回顾”，既直接检验了学生对加法运算律的记忆、辨认和理解，又有效地沟通了新旧知识的联系，使学生清晰地感悟到数学知识“旧中带新、新旧联系”的发展特点。
整节课，遵循“数学学习就是学生既有经验的改造”，以严整、精炼的课堂结构所产生的内在逻辑力量推进课堂，力求达到“教学思路”“学习思路”和“知识发展之路”的“三路”统一，使课堂呈现出自然、合理的生长质态，引领学生顺利建构新知。
二、举例说理，体验数学的理性特征
本节课，我采用了双线推进的方式，引导学生确认加法运算律的事实存在。
一条线索是举例证实。在利用准备题让学生初步感知“交换加数位置，和不变”的现象后，尝试让学生列举出更多的有这类现象的等式，进行更多的验证，从而体验现象的普遍性。当然，这并不是为了举例而举例，举的例子越多就越好，而是要通过教师引导使学生感受到要举出与众不同的例子，要举出特殊的例子才能更充分地说明问题。
另一条线索是说理证明。“既然不是偶然，而是必然，就说明其中一定蕴藏着某种道理。你能试着讲一讲吗？”由于这个问题带有逻辑推理的意味和性质，学生对此明显不太适应，课堂上顿时安静下来。在接下来的讨论交流中，学生逐步认识到“无论你先写哪个数，再写哪个数，结果都是把这两部分合起来，所以和不变。”这种说理方法让大家茅塞顿开。等到了加法结合律的学习，有很多学生已经不太愿意“举例证实”了，他们纷纷主动地选择“说理证明”的方法——“不管你采用什么顺序结合，最后都是把这三个部分合到一起，所以和不变。”这无疑提高了教学效率，提升了学生的认识水平。
三、相机渗透，感悟生活的教育意蕴
课堂即生活，生活即教育，数学课堂也不例外。其实，一个民主、尊重、开放的数学课堂，一个学生感到“心理安全、自由”的数学课堂，一个教师始终对学生真诚关注、由衷欣赏、恰当指导的数学课堂，一个学生能积极主动展现真性情、表白真想法的数学课堂，本身就是一幅温馨的生活画卷，充满浓浓的教育意蕴。
本节课，我从“生态课堂”的角度，寻找了两个渗透点。第一个点是关于字母表述规律的讨论。“a b=b a，为什么用字母表示最适合数学？”“国外的数学书上也是这样表示的吗？”“除了简单方便之外，有没有其他的原因呢？”透过对这些问题的追寻，除了促进学生理解数学的符号意蕴外，有没有可能开拓了部分学生的国际视野？有没有可能激起部分学生的民族自豪感？这些谁也说不准，因为教学本身就是确定性和可能性的结合。第二个点是关于“高斯求和”问题的讨论。课堂上，让学生穿越时空想象当时小高斯和其他同学面临“1 2 3 … 98 99 100”这一复杂问题情境时的不同表现，此种对比，更加凸显了静心思考的独特魅力、敢于超越的精神力量和高超完美的人类智慧。这是一种人文精神，也是一种科学精神，这种精神正是推动数学不断发展的内在动力之一。
（责编 金 铃）
[关键词]数学问题 发现 认知节点 提问方法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）05-015
【课堂实践】
一、激疑引新，唤醒经验
1.口算抢答——引出“准”
师：通过四年的数学学习，同学们已经掌握了加、减、乘、除这四种运算的基本方法。今天这节课，首先进行一个关于加法的小测试，看谁的反应快。（大屏幕依次出现6、7、2、3、4、8，生按顺序相加得到总和30）
师：恭喜！你们已经达到计算水平的第一层次——准。（板书）
2.全面观察——引出“巧”
师：当这六个数一起展现在你的面前，让你求和时，除了按照刚才从左到右的顺序依次相加外，现在又有什么新的想法？
生1：可以采用两两结合的方法求和，因为每组两个数刚好凑十。
（呈现方法：6 7 2 3 4 8=（6 4） （7 3） （2 8）=30）
师：佩服！你们的计算水平已经上升到——巧。（板书：巧）这种方法与按顺序加相比，巧在何处？
生2：巧在把能“凑十”的两个数先加。（板书：凑十）
师：请仔细观察，为了凑十，我们对原来的算式做了哪些“手术”？
生3：把一些数的位置改变了，进行了调换。
生4：没有按照从左到右的顺序计算，而是把凑十的两个数先算。
（适时提炼板书：“交换加数位置”“改变运算顺序”）
3.无疑生疑——促探索
师：对于你们大胆地给这道连加算式实施的这两个“手术”，老师产生了疑问。你们知道老师产生了什么疑问吗？
（生讨论、猜想、提问）
二、举例说理，提炼经验
1.教学加法交换律
师：请注意，老师产生的疑问是“交换加数的位置，和会发生变化吗？”（在“交换加数位置”上打上一个“？”）
生1：不会。比如4 3和3 4，都等于7，它们的和是一样的。（板书：4 3=3 4）
师：你不仅回答了问题，而且举了一个简单的例子证明自己的想法，值得表扬。（板书：举例）不过一个例子能证明一个结论是正确的吗？
生2：不能。必须举很多的例子。
师：你们还有其他不同类型的例子吗？
生3：有。比如20 60=60 20。（板书）
师：为什么说这是不同类型的例子呢？
生3：刚才是一位数加法，我这是两位数加法。
师：说得很有道理。还有其他不同类型的例子吗？
生4：220 340=340 220。
师：你是算了两边的得数以后才知道相等，还是一开始就知道相等？
生4：我没有算。因为傻子都知道相等。
师：“傻子都知道”是什么意思？
生5：他的意思是这样的两个式子一定是相等的，不用算就知道。
生6：我们以前在考试中就经常有这样的两个式子让我们选择“﹥”“﹤”“=”填空，我们每次选择“=”都是正确的。
师：也就是说这样的两个式子相等，不是偶然的，而是必然的！既然如此，这当中就一定蕴含着某种道理。你能从道理上讲一讲吗？（板书：说理）
生6：因为在列式时不管你先写哪个数，后写哪个数，最后都是把这两个数加起来，所以一定是相等的。
生7：把两个部分合起来是不分先后顺序的。
师：刚才我们先用 “举例”证实了“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。又用“说理”证明了“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。那么你喜欢用什么方法来表示这个规律呢？（生试写、汇报）
生8：□ ○=○ □。
生9：甲 乙=乙 甲。
生10：蓝色 红色=红色 蓝色。
生11：a b=b a。
师：刚才这么多方法，都比较形象、准确地表示了这条规律，那么你认为哪种表示方法最适合数学呢？为什么？
生12：我认为字母最适合，因为用字母比较简单。
生13：我看过书了，书上就是用字母表示的。（板书：a b=b a）
师：想一想美国的数学书上会怎么表示？其他国家的数学书上会怎么表示？
生14：美国的数学书上肯定用字母表示，因为他们就说英语。其他国家的数学书上也应该用字母表示吧。
师：说得对。这是全世界数学界的统一规定。之所以选择用字母表示，最主要的原因当然是因为它简单方便，但你们有没有想过或许有其他的原因呢？
生15：我想可能是因为美国的科学领先，经济发达，所以英语是世界上最通用的语言。不过随着我们中国越来越强大，学汉语的人也会越来越多。
师：是的，现在世界上确实掀起了一股“汉语热”。试着给这条规律起个名字吧？
生16：加法交换律。（板书）
2.教学加法结合律
师：刚才我们讨论了两个手术中的第一个手术“交换加数位置”，接下来我们讨论第二个手术“改变运算顺序”。你们能像刚才老师那样针对它提出一个问题吗？
生17：在加法中，改变运算顺序，会不会改变结果呢？
生18：不会。比如（3 4） 5=3 （4 5）。 师：请大家注意观察，生18举的这个例子中，等式两边什么没有变化？什么发生了变化？
生19：三个数的位置没有变化，结果没有变化。
生20：两边计算的顺序不同。
生21：两边结合的方式不一样。
师：我想请问刚才那个同学，你在举这个例子时，是先计算然后知道相等，还是一开始就知道相等？
生18：不用计算。因为不管你采用什么顺序合并，最后都是把这三个部分合在一起，所以改变运算顺序，和不变。
师：你的意思是不用举例了，这也是一条规律。大家同意吗？这条规律叫什么名称？在数学中怎样表示呢？试着自己写一写、议一议。
（生试写、交流，板书揭示“加法结合律”）
师：这就是加法运算中存在的两条重要规律，我们把它们统称为“加法运算律”（板书）。这两条运算律的关键词分别是什么？你是如何理解的？
生19：加法交换律的关键词是“交换”，意思是在加法中可以交换加数的位置；加法结合律的关键词是“结合”，意思是可以改变原来的运算顺序，进行重新结合。
三、回顾既往，贯通经验
师：其实，这两条规律早就陪伴着我们了，只是在今天这个合适的时机把它们提炼出来罢了。瞧，这是我们一年级时候经常练习的“一图两式”，同学们想想看，这里面就有谁的影子？
生1：加法交换律。
师：后来，在计算比较复杂的加法时，为了保证结果的准确，我们也经常像这样用交换两个加数位置的方法进行验算。现在看来，这是哪一条规律的应用？
生2：加法交换律。
师：用凑十法帮助我们计算20以内进位加法，需经历这样的思考过程。这当中有谁的影子？
生3：加法结合律。
师：解决这样一个实际问题可以用两种不同的思路，最后得到的结果一样。这其实是对哪种规律的有力证明？
生4：加法结合律。
师：如此看来，今天所学的新知识还算是新知识吗？
生5：不是！其实我们早就知道了。
师：是的。这正是数学知识发展的特点“旧中有新，新中有旧”。但不要忘了一个前提条件，那就是要想学好新知识，先要——
生6：学好旧知识。
四、练习延伸，提升经验
1.让学生练习书上“想想做做”第1题和第2题（过程略）
2.介绍“高斯求和问题”
师：在人类的数学发展史上，曾经有一位伟大的数学家把加法的交换律和结合律用到了极致，同学们想了解吗？（依次出示高斯问题的背景和思维过程）请同学们比较一下，为了实现“巧算”，我们运用加法运算律是为了“凑整”，而高斯是为了什么？
生1：是为了把每一组的和都变成101，这样就有50个101，就是5050。
师：简单地说，高斯是为了“凑同”。这样就可以把一道复杂的加法变成乘法，简称为“变加为乘”。你觉得这样的思维方式怎么样？
生2：真是太绝妙了！
五、课堂总结，积淀经验（略）
【教后反思】
一、经验贯通，彰显课堂的逻辑力量
好的数学课堂是自然流淌的，应该有一股内在的、强大的逻辑力量在推动着课堂朝着预定的目标不断前行。
鉴于学生经验系统中已经储存了关于新知的丰厚经验，本节课以经验的激活、提炼、拓展和积淀贯通全课。课伊始，用六个数激活学生既有的加法经验，通过“依次相加”和“结合凑十相加”两种不同的方法对比，指明学生提高计算水平的方向——由“准”到“巧”。这六个数，虽然简单，却是一个结构性的学习材料（所谓结构性学习材料是指教师把所要学的知识隐蔽地镶嵌到学习材料中，便于学生通过主动探索重新“发现”、“创造”相应的知识）。利用这一简明的结构性材料，顺利引出本节课的两个关键问题——“交换加数位置”和“改变运算顺序”，给接下来的探讨、交流和对话提供话题。
围绕“交换加数位置”进行交流，是学生既有加法经验的自然输出，最后通过归纳总结，抽象表达出规律，引导学生经历了数学模型的建构过程，培养了符号意识，提升了经验水平。探讨“改变运算顺序”，则是刚刚获得的思维活动经验和建模经验的主动迁移和再次强化，它为今后探索其他运算律打下伏笔。
“对以往学习历程的回顾”，既直接检验了学生对加法运算律的记忆、辨认和理解，又有效地沟通了新旧知识的联系，使学生清晰地感悟到数学知识“旧中带新、新旧联系”的发展特点。
整节课，遵循“数学学习就是学生既有经验的改造”，以严整、精炼的课堂结构所产生的内在逻辑力量推进课堂，力求达到“教学思路”“学习思路”和“知识发展之路”的“三路”统一，使课堂呈现出自然、合理的生长质态，引领学生顺利建构新知。
二、举例说理，体验数学的理性特征
本节课，我采用了双线推进的方式，引导学生确认加法运算律的事实存在。
一条线索是举例证实。在利用准备题让学生初步感知“交换加数位置，和不变”的现象后，尝试让学生列举出更多的有这类现象的等式，进行更多的验证，从而体验现象的普遍性。当然，这并不是为了举例而举例，举的例子越多就越好，而是要通过教师引导使学生感受到要举出与众不同的例子，要举出特殊的例子才能更充分地说明问题。
另一条线索是说理证明。“既然不是偶然，而是必然，就说明其中一定蕴藏着某种道理。你能试着讲一讲吗？”由于这个问题带有逻辑推理的意味和性质，学生对此明显不太适应，课堂上顿时安静下来。在接下来的讨论交流中，学生逐步认识到“无论你先写哪个数，再写哪个数，结果都是把这两部分合起来，所以和不变。”这种说理方法让大家茅塞顿开。等到了加法结合律的学习，有很多学生已经不太愿意“举例证实”了，他们纷纷主动地选择“说理证明”的方法——“不管你采用什么顺序结合，最后都是把这三个部分合到一起，所以和不变。”这无疑提高了教学效率，提升了学生的认识水平。
三、相机渗透，感悟生活的教育意蕴
课堂即生活，生活即教育，数学课堂也不例外。其实，一个民主、尊重、开放的数学课堂，一个学生感到“心理安全、自由”的数学课堂，一个教师始终对学生真诚关注、由衷欣赏、恰当指导的数学课堂，一个学生能积极主动展现真性情、表白真想法的数学课堂，本身就是一幅温馨的生活画卷，充满浓浓的教育意蕴。
本节课，我从“生态课堂”的角度，寻找了两个渗透点。第一个点是关于字母表述规律的讨论。“a b=b a，为什么用字母表示最适合数学？”“国外的数学书上也是这样表示的吗？”“除了简单方便之外，有没有其他的原因呢？”透过对这些问题的追寻，除了促进学生理解数学的符号意蕴外，有没有可能开拓了部分学生的国际视野？有没有可能激起部分学生的民族自豪感？这些谁也说不准，因为教学本身就是确定性和可能性的结合。第二个点是关于“高斯求和”问题的讨论。课堂上，让学生穿越时空想象当时小高斯和其他同学面临“1 2 3 … 98 99 100”这一复杂问题情境时的不同表现，此种对比，更加凸显了静心思考的独特魅力、敢于超越的精神力量和高超完美的人类智慧。这是一种人文精神，也是一种科学精神，这种精神正是推动数学不断发展的内在动力之一。
（责编 金 铃）