近四十年来，谱方法的研究取得了很大进展，已广泛应用于诸多领域的数值模拟，如热传导！量子力学！流体力学！数值天气预报和金融数学等。谱方法在当今的科学和工程计算中起到了非常重要的作用，并与有限元方法和有限差分法一起成为数值求解微分方程的有力工具。　　谱方法的最大优点是计算的高精度，也就是所谓的“无穷阶”收敛性。即真解越光滑，谱方法的收敛速度越快。特别地，当真解无穷可微时，数值解呈指数收敛。谱方法的主要特点是选择无穷阶可微的正交函数作为基函数来逼近微分方程的解，选择不同的基函数就得到了不同的谱逼近方法。例如，周期问题的Fourier谱方法，有界区域问题的Jacobi谱方法，无界区域问题的Laguerre谱方法以及Hermite谱方法等。　　通常求解无界区域上微分方程的谱方法分为三大类：一是将无界区域截断成有界区域，加上人工边界条件，再用有界区域上的谱方法进行求解；二是通过自变量的变换将无界区域问题变换为有界区域上的奇异问题，然后用Jacobi谱方法求解；或者将有界区域上的经典正交多项式映射为无界区域上的有理正交函数，然后用该有理函数逼近无界区域问题；三是直接利用无界区域上的正交多项式或函数逼近无界区域问题，如经典的Laguerre谱方法和Hermite谱方法。　　Laguerre谱方法在求解无界区域问题时具有快速和稳定的特点。近年来，该方法的研究取得了诸多进展，如发展了广义Laguerre多项式的谱方法和广义Laguerre函数的谱方法等。但现有的广义Laguerre谱方法要求参数α>-1，这与很多微分方程不匹配，因而极大地限制了其应用范围。基于上述原因，本文发展了带任意实参数α的广义Laguerre谱方法，并针对无界区域上的多种椭圆型边值问题，构建了全对角化广义Laguerre谱方法。该方法的最大优点在于，其生成的线性代数方程组的系数矩阵是单位阵，条件数为1，而现有的Laguerre谱方法中对应系数矩阵是满阵或带状阵，条件数是按平方量级增长的。　　本文的结构如下：　　第一章，介绍谱方法的发展历史，同时指出了现有Laguerre谱方法求解无界区域问题时存在的一些困难和不足，并给出了本文得到的一些主要结果。　　第二章，定义了带任意实参数α的广义Laguerre多项式和广义Laguerre函数，并建立了其递推关系！正交性和投影的误差估计。　　第三章，针对无界区域上带非齐次Dirichlet或Robin边值条件的二阶椭圆型问题，建立了全对角化广义Laguerre谱方法，并给出了最优收敛性结果，数值试验验证了该算法的有效性。　　第四章，针对无界区域上二维和三维椭圆型方程的对称问题，建立了全对角化广义Laguerre谱方法，并给出了最优收敛性结果，数值试验验证了该算法的有效性。　　第五章，针对无界区域上的四阶椭圆型边值问题，建立了全对角化广义Laguerre谱方法，并给出了最优收敛性结果，数值试验验证了该算法的有效性。针对外部区域上二维和三维椭圆型方程的对称问题，建立了全对角化广义Laguerre谱方法，数值试验验证了该算法的有效性。